Lineaire programmering: toepassingen, definities en problemen

Lineaire programmering: toepassingen, definities en problemen!

(i) Planning ontwikkelen voor de voedselverwerkende industrie en voor aardolieraffinaderijen, enz.

(ii) In de metaalbewerkende industrie wordt het gebruikt voor het laden van winkels en voor het bepalen van de keuze tussen het kopen en produceren van verschillende onderdelen.

(iii) Het wordt gebruikt om verschillende ijzerertsen in de ijzer- en staalindustrie te evalueren.

(iv) Het wordt gebruikt om de hoeveelheid afsnijdingsverliezen in papierfabrieken te verminderen.

(v) Het wordt gebruikt om de optimale routering van massages in een communicatienetwerk te vinden.

Lineaire programmeringsdefinitie:

Lineair programmeren is een wiskundig hulpmiddel / een techniek om het beste gebruik van de middelen van een organisatie te bepalen. Lineaire programmering is ontworpen om managers te helpen bij het plannen en beslissen. Als beslissingsinstrument heeft het zijn waarde bewezen op verschillende gebieden, zoals productie, marketingfinanciering, onderzoek en personeelsopdrachten.

Bepaling van optimale productmix, transportschema's portfoliokeuze machine-opdracht; fabriekslocatie en toewijzing van arbeid enz. zijn de weinige soorten problemen die met behulp van lineaire programmering kunnen worden opgelost.

"De analyse van problemen waarbij een lineaire functie van een aantal variabelen gemaximaliseerd (of geminimaliseerd) moet worden wanneer deze variabelen onderworpen zijn aan een aantal of beperkingen in de vorm van lineaire gelijkheden", Samuelson en Slow.

Volgens Loomba, "Lineaire programmering is slechts één aspect van wat een systeembenadering van management wordt genoemd, waarbij in alle programma's de uiteindelijke effecten worden bepaald en geëvalueerd in de realisatie van bedrijfsdoelen".

Lineaire programmeringsproblemen - grafische methode:

De stappen van de grafische methode kunnen als volgt worden samengevat;

1. Formuleer het probleem met lineaire programmering

2. Maak een lijst van de gegeven beperkingslijnen en beschouw ze als vergelijkingen

3: Identificeer uit de bovenstaande grafiek de mogelijke oplossingsregio

4. Lokaliseer het hoekpunt van het bereikbare oplossingsgebied.

5. Bereken de waarde van de doelfunctie op de hoekpunten.

6. Kies nu het punt waarop de doelfunctie een optimale waarde heeft.

Voorbeeld 1:

Na het voltooien van de bouw van zijn uren vond de heer Gopalan dat 100 vierkante voet multiplexschroot en 80 vierkante voet wit pijnboomschroot in bruikbare vorm zijn, die kan worden gebruikt voor de constructie van tafels en boekomslag. Het kost 16 vierkante meter multiplex en 8 vierkante meter witte den om een tafel te maken, 12 vierkante meter multiplex en 16 vierkante meter witte den is nodig om een boekenkast te maken. Door de afgewerkte producten aan een lokale dealer te verkopen, kan hij een winst van Rs realiseren. 25 op elke tafel en Rs. 20 op elke boekenkast. Hoe kan hij het overgebleven hout het meest winstgevend gebruiken? Pas de grafische methode toe om de LLP op te lossen

Oplossing:

Laten we aannemen dat X ₂ het aantal tabellen is en X ₂ het aantal gevallen van boeken is, dus

Om de beperking in de grafiek tijdelijk te plotten, zullen we de ongelijkheden als volgt in de vergelijking omzetten:

Elke combinatie van waarde van x ₁ en x ₂ die aan dergelijke beperkingen voldoet, wordt een haalbare oplossing genoemd. Gebied OABC in figuur 15.1 waaraan wordt voldaan door de beperking wordt weergegeven in gearceerd gebied en is bekend als haalbaar oplossingsgebied.

Max Z = 160

x ₁ = 4

x ₂ = 3 Ans.

Voorbeeld 2:

Een meubelfabriek produceert stoelen en tafels. De onderstaande gegevens tonen de verbruikte hulpbronnen en de winst per eenheid. Verder wordt aangenomen dat hout en arbeid de twee hulpbronnen zijn die worden verbruikt bij het vervaardigen van meubels. De eigenaar van het bedrijf wil bepalen hoeveel stoelen en tafels moeten worden gemaakt om de totale winst te maximaliseren.

Oplossing:

Laat x, het aantal tabellen x2 is het getal. van stoelen, zodat.

Om de beperkingen van de grafiek tijdelijk te plotten, zullen we de ongelijkheden in vergelijkingen omzetten:

Evenzo in vergelijking

Elke combinatie van de waarde van x en die voldoet aan de gegeven beperking is bekend als een haalbare oplossing. Het gebied OABC 'm Fig. 15.2 dat voldoet aan de beperkingen wordt weergegeven in een gearceerd gebied en staat bekend als een bruikbaar oplossingsgebied. De coördinaat van het punt op de hoek van het gebied kan worden verkregen door de twee vergelijkingen op te lossen van de lijnen die elkaar snijden op punt B

Vandaar dat Z = 96

x ₁ = 4

x ₂ = 9 Ans.

Voorbeeld 3:

Een bedrijf produceert twee soorten pennen, zeg A & B. Pen A is een superieure kwaliteit en 6 is van een lagere kwaliteit. Winst op pennen A en B is Rs. 5 en Rs.3 per pen respectievelijk. Grondstof vereist voor elke pen A is twee keer zo groot als die voor pen B.

De aanvoer van grondstoffen is alleen voldoende voor 1000 pennen van het type B per dag. Pen A vereist een speciale clip en slechts 400 van dergelijke clips zijn per dag beschikbaar. Voor pen B zijn slechts 700 clips per dag beschikbaar. Zoek grafisch de productmix zodat het bedrijf maximale winst kan maken.

(Delhi University MBA april 1988)

Oplossing:

Laat x ₁ = Aantal Type A-pennen

x ₂ = Aantal Type B-pennen

De wiskundige formulering van de problemen is

Door ongelijkheden van de bovengenoemde beperkingen om te zetten in gelijkheden om de grafiek te plotten die we krijgen

Door de bovenstaande lijnen in de grafiek uit te zetten, hebben we x ₁ x ₂ voldoen aan alle drie beperkingen als x ₁ ≥ 0 en x ₂ ≥ 0 zodat de bovenstaande afbeelding 15.3 ODABE als haalbaar gebied vormt.

De verschillende punten worden geëvalueerd als onder.

Uit bovenstaande tabel is duidelijk dat de maximale waarde van Rs is. 2850 bij punt B

Dus x ₁ = 150, x ₂ = 700 & Z = 2850

Voorbeeld 4:

GJ Breveries Ltd. Met twee bottelinstallaties, een gevestigd in G en de andere in J. Elke fabriek produceert drie dranken-whisky, bier en brandewijn met de naam A, B en C respectievelijk. Het aantal flessen dat per dag wordt geproduceerd, is als volgt.

Een markt gaf aan dat gedurende de maand juli er vraag zal zijn naar 20000 flessen whisky, 40000 flessen bier en 44000 flessen brandewijn. De bedrijfskosten per dag voor planten G en J zijn 600 en 400 monetaire eenheden. Voor hoeveel dagen elke installatie in juli wordt gebruikt om de productiekosten tot een minimum te beperken, terwijl nog steeds aan de marktvraag wordt voldaan? Grafisch oplossen?

Oplossing:

De gegevens van het probleem zijn als volgt:

Nu is het doel om de kosten te minimaliseren, het probleem kan op de wiskundige manier als volgt worden gepresenteerd.

Om de beperkingen op de grafiek te plotten, moeten de ongelijkheden van bovenstaande beperkingen worden omgezet in gelijkheden die we krijgen

1500x ₁ + 1500x ₂ = 20000

3000x ₁ + 1000x ₂ = 40000

20000x ₁ + 5000x ₂ = 44000

Vereenvoudiging van de bovenstaande vergelijkingen die we hebben

De oplossing bevindt zich in het eerste kwadrant, omdat elk ervan groter was dan of gelijk aan beperkingen van het type, zodat de punten (x _v x ₂ ) in het gebied zijn dat rechts van elk van de uitgezette lijnen valt.

Vorm de bovenstaande grafiek onbegrensde oplossingsregio is ABC en om de waarde te vinden bij B, lossen we de inter-sectionele vergelijking & gelijktijdig op.

Voorbeeld 5:

De beheerder van een olieraffinaderij moet beslissen over de optimale combinatie van twee mogelijke mengprocessen, waarvan de inputs en uitvoer per productiecyclus als volgt zijn:

De maximale beschikbare hoeveelheid voor ruwe A en B is respectievelijk 200 eenheden en 150 eenheden. Marktvereisten tonen aan dat er minstens 100 eenheden ganoline X en dus eenheden benzine Y moeten worden geproduceerd.

De winst per productie-run van proces 1 en proces 2 is Rs. 300 en Rs. 400 respectievelijk. Los de LP op met grafische methode.

(Gujarat University MBA 1989)

Oplossing:

Volgens de gegevens is de wiskundige formulering van de problemen

Max Z = 300x ₁ + 400x ₂

Onderworpen aan

5x ₁ + 4x ₂ = ≤ 200

3x ₁ + 5x ₂ = ≤ 150

5x ₁ + 4x ₂ = ≥ 100

8x ₁ + 4x ₂ = ≥ 80

Met het oog op het plotten van deze beperkingen op de grafiek, laten we deze in gelijkheden als een vergelijking beschouwen, zodat

Als we waarden in de grafiek plotten, krijgen we deze zoals getoond in Fig. 15.5.

De oplossing ligt op een van de hoekpunten van oplossingsgebied LMN, O, P en om de onbekende waarde te bepalen, dat wil zeggen van O, lossen we gelijktijdig de kruisingsvergelijkingen op, dwz

Voorbeeld 6:

Een bedrijf maakt dat het product x en y een totale productie van een capaciteit van 9 ton heeft voortgezet. Per dag vereist x & y dezelfde productiecapaciteit. De firma's hebben een contract voor onbepaalde tijd om minimaal 2 ton x en ten minste 3 tonen per dag aan een ander bedrijf te leveren. Elke ton x heeft 20 producturen nodig en elke ton y heeft 50 producturen nodig.

Het dagelijks maximaal mogelijke aantal machine-uren is 360. Alle uitvoer van het bedrijf kan worden verkocht en de gemaakte winst is Rs. 80 per ton x en Rs. 120 per ton y. Het is vereist om het productieplanning voor maximale winst te bepalen en om het productieplanning voor maximale winst te berekenen en de winst te berekenen.

(Delhi MBA april 1983)

Oplossing:

De gegeven LP kan wiskundig als volgt worden geschreven:

Laat de ongelijkheden als vergelijkingen worden beschouwd met als doel om bovenstaande waarden op grafiek uit te zetten als volgt:

Laten we deze vergelijkingen in de grafiek plotten zoals getoond in Fig. 15.6.

Uit het diagram is duidelijk dat EFGH de Solution Region is en de oplossing op het hoekpunt van EFGH ligt.

De waarde door inspectie op

E = (2, 3)

F = (6, 3)

Voor punt "De waarde kan worden berekend door simultane vergelijkingen van de regels inter-instelling op H. dat wil zeggen

20x ₁ + 50x ₂ = 360

x ₁ = 2

x ₂ = 320/50 = 6.4

Zoals het lijkt op punt G dat de kruising van vergelijkingen is

20x ₁ + 50x ₂ = 360 ... (1)

x ₁ + x ₂ = 9 ... (2)

Het oplossen van deze vergelijkingen krijgen we

x ₁ = 3, x ₂ = 6

De maximale winst is bij punt G. vandaar.

x ₁ = 3

x ₂ = 6

Z = 960 Ans.

Voorbeeld 7:

Het standaardgewicht van een steen voor speciale doeleinden is 5 kg en bevat twee basisingrediënten 6 ₁ en S ₂ kosten Rs. 5 per kg en S ₂ kosten Rs. 8 per kg.

De sterkte-overweging schrijft voor dat de steen niet meer dan 4 kg van S bevat, en een minimum van 2 kg van S2, omdat de vraag naar het product waarschijnlijk gerelateerd is aan de prijs van de baksteen, om grafisch de minimale kosten van baksteen te vinden die aan bovenstaande voldoen voorwaarden.

(ICWA juni 1982)

Oplossing:

De gegeven gegevens kunnen de volgende wiskundige vorm krijgen:

Als we de ongelijkheden van beperkingen voorlopig als vergelijking beschouwen, zodat de vergelijking kan worden uitgezet op de grafiek die we kennen.

Nu plotten we deze waarden in de grafiek.

Aangezien een van de beperkingen gelijkheid x ₁ + x ₂ = 5 is. Er is geen oplossing, eerder een oplossingspunt dat aan alle voorwaarden voldoet, dwz punt S (3, 2)

Z = 31

x ₁ = -3

x ₂ = 2Ans.

Voorbeeld 8:

Los grafisch het volgende lineaire programmeerprobleem op.

Oplossing:

Voor het tekenen van de grafiek die de ongelijkheden van de gegeven beperkingen omzet in gelijkheden, krijgen we

Nu plotten de bovenstaande lijnen in de grafiek zoals getoond in Fig. 15.8 Het haalbare oplossinggebied dat in de schaduw is en wordt begrensd door ABCDE. De waarde van Z op verschillende punten is als volgt.

Het punt A dat de kruisende lijnen zijn

2x ₁ - x ₂ = -2

2x ₁ + 3x ₂ = 12

Tegelijkertijd oplossen we krijgen

x ₁ = 0, 75

x ₂ = 3, 5

Op punt B zijn de kruisende lijnen

2x ₁ - x ₂ = -2

-3x ₁ + 4x ₂ = 12

Bij het oplossen van deze vergelijkingen krijgen we de coördinaten van B als

x ₁ = 0.8

x ₂ = 3.6