Waarschijnlijkheid: betekenis, concept en belang
Na het lezen van dit artikel zul je leren over: - 1. Betekenis van Waarschijnlijkheid 2. Verschillende Scholen van Gedachte over het Waarschijnlijkheidsbegrip 3. Belangrijke Terminologie 4. Belang 5. Principes.
Betekenis van Waarschijnlijkheid:
In ons dagelijks leven is de "waarschijnlijkheid" of "kans" een veelgebruikte term. Soms gebruiken we om te zeggen "Waarschijnlijk zal het morgen regenen", "Waarschijnlijk komt meneer X vandaag om zijn les te nemen", "Waarschijnlijk heb je gelijk". Al deze termen, mogelijkheid en waarschijnlijkheid geven dezelfde betekenis. Maar in de statistiek heeft de kans een bepaalde speciale connotatie anders dan in de visie van Layman.
De waarschijnlijkheidstheorie is ontwikkeld in de 17e eeuw. Het is ontstaan uit games, munten gooien, een dobbelsteen gooien, een kaart uit een pack halen. In 1954 had Antoine Gornband een inwijding en belangstelling voor dit gebied.
Na hem hadden vele auteurs in de statistiek geprobeerd het idee van de eerste te veranderen. De 'waarschijnlijkheid' is een van de basisinstrumenten van de statistiek geworden. Soms raakt statistische analyse verlamd zonder de stelling van de waarschijnlijkheid. "Waarschijnlijkheid van een bepaalde gebeurtenis wordt gedefinieerd als de verwachte frequentie van optreden van de gebeurtenis bij gebeurtenissen van eenzelfde soort." (Garrett)
De waarschijnlijkheidstheorie biedt een manier om een idee te krijgen van de waarschijnlijkheid van het optreden van verschillende gebeurtenissen als gevolg van een willekeurig experiment in termen van kwantitatieve meetwaarden variërend van nul tot één. De kans is nul voor een onmogelijke gebeurtenis en een voor een gebeurtenis die zeker zal plaatsvinden.
Voorbeeld:
De kans dat de lucht zal vallen is .00.
Een persoon die nu leeft zal op een dag sterven is 1, 00.
Laten we de betekenis van waarschijnlijkheid verduidelijken met een voorbeeld van het tekenen van een speelkaart. Er zijn 4 soorten kaarten in een pakket en als deze kaarten willekeurig worden geschud, is de kans om een schoppen te tekenen 13/52 = 1/4. Als een onbevooroordeelde munt wordt gegooid, is de kans dat Kop (H) optreedt, 1/2.
Waarschijnlijkheid als ratio:
De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis vermeld of uitgedrukt wiskundig genoemd als een verhouding. De waarschijnlijkheid van een onbevooroordeelde munt, vallende kop is 1/2, en de kans dat een dobbelsteen een twee-vlek laat zien is 1/6. Deze ratio's, waarschijnlijkheidsratio's genoemd, worden gedefinieerd door die fractie, waarvan de teller gelijk is aan de gewenste uitkomst of uitkomsten, en waarvan de noemer gelijk is aan de totale mogelijke uitkomsten.
Eenvoudiger gezegd, de kans dat een gezicht op een 6-gezicht wordt weergegeven (bijv. 4 plaatsen) is 1/6 of de
Waarschijnlijkheid = gewenste uitkomst / totaal aantal uitkomsten
Een waarschijnlijkheid is dus een getal of een ratio die loopt van 0 tot 1. Nul voor een gebeurtenis die niet kan voorkomen en 1 voor een gebeurtenis, is zeker aanwezig.
Verschillende scholen van gedachte over het waarschijnlijkheidsconcept:
Er zijn verschillende stromingen over het begrip waarschijnlijkheid:
1. Klassieke kans:
De klassieke benadering van waarschijnlijkheid is een van de oudste en eenvoudigste denkwijzen. Het is ontstaan in de 18e eeuw, wat de kans op kansspelen zoals het gooien van munten, dobbelstenen, kaarten tekenen etc. verklaart.
De definitie van waarschijnlijkheid is gegeven door een Franse wiskundige genaamd "Laplace". Volgens hem is de kans de verhouding tussen het aantal gunstige gevallen en het aantal even waarschijnlijke gevallen.
Of met andere woorden, de ratio voorgesteld door de klassieke benadering is:
Pr. = Aantal gunstige gevallen / aantal even waarschijnlijke gevallen
Als bijvoorbeeld een munt wordt gegooid en als wordt gevraagd wat de waarschijnlijkheid is van het optreden van het hoofd, dan is het getal van het gunstige geval = 1, het aantal even waarschijnlijke gevallen = 2.
Pr. van het hoofd = 1/2
Symbolisch kan het worden uitgedrukt als:
P = Pr. (A) = a / n, q = Pr. (B) of (niet A) = b / n
1 - a / n = b / n = (of) a + b = 1 en ook p + q = 1
p = 1 - q, en q = 1 - p en als a + b = 1 dan dus ook a / n + b / n = 1
In deze benadering varieert de kans van 0 tot 1. Wanneer kans nul is, betekent dit dat het onmogelijk is om te voorkomen.
Als de kans 1 is, is er zekerheid voor het optreden, dat wil zeggen dat de gebeurtenis onvermijdelijk plaatsvindt.
Voorbeeld:
Uit een zak met 20 zwarte en 25 witte ballen, wordt willekeurig een bal getrokken. Wat is de kans dat het zwart is?
Pr. van een zwarte bal = 20/45 = 4/9 = p, 25 Pr. van een witte bal = 25/45 = 5/9 = q
p = 4/9 en q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)
minpunten:
(1) Klassieke benadering beperkt zich alleen tot de munten, dobbelstenen, kaarten, enz .;
(2) Dit kan het werkelijke resultaat in bepaalde gevallen niet verklaren;
(3) Als het aantal even waarschijnlijke gevallen groter is, dan is het moeilijk om de waarden van de waarschijnlijkheidsratio te achterhalen, en
(4) Indien een aantal even waarschijnlijke gevallen 00 is, dan is deze aanpak ontoereikend.
2. Relative Frequency Theory of Probability:
Deze benadering van waarschijnlijkheid is een protest tegen de klassieke benadering. Het geeft aan dat als n wordt verhoogd tot ∞, we de waarschijnlijkheid van p of q kunnen achterhalen.
Voorbeeld:
Als n ∞ is, dan is Pr. van A = a / n = .5, Pr. van B = b / n = 5
Als een gebeurtenis een keer uit n optreedt, is zijn relatieve frequentie a / n. Als n ∞ wordt, wordt dit de limiet van de relatieve frequentie genoemd.
Pr. (A) = limiet a / n
waar n → ∞
Pr. (B) = limiet bl.t. hier → ∞.
Als er twee soorten objecten tussen de objecten van vergelijkbare of andere aard zijn, dan is de waarschijnlijkheid van één object dat wil zeggen Pr. van A = .5, dan Pr. van B = .5.
minpunten:
1. Deze benadering is helemaal geen authentieke en wetenschappelijke benadering.
2. Deze benadering van waarschijnlijkheid is een ongedefinieerd concept.
3. Dit type waarschijnlijkheidsbenadering, hoewel toegepast in het bedrijfsleven en in de economie, is nog steeds niet betrouwbaar.
Belangrijke terminologie in waarschijnlijkheid:
1. Wederzijds exclusieve evenementen:
Van de gebeurtenissen wordt gezegd dat ze elkaar uitsluiten wanneer ze niet tegelijkertijd plaatsvinden. Van de evenementen zullen, als één evenement aanwezig blijft in een proef, andere evenementen niet verschijnen. Met andere woorden, voorkomen van één sluit het optreden van alle anderen uit.
Bijvoorbeeld:
Als een meisje mooi is, kan ze niet lelijk zijn. Als een bal wit is, kan deze niet rood zijn. Als we andere gebeurtenissen als dood en levend nemen, kan worden gezegd dat een persoon op een bepaald moment levend of dood kan zijn.
Maar leugen kan niet tegelijk zowel levend als dood zijn. Als een munt wordt gegooid, verschijnt het hoofd of verschijnt er een staart. Maar beide kunnen niet in dezelfde tijd verschijnen. Het verwijst naar het feit dat bij het gooien van een munt het optreden van hoofd en staart onder wederzijds exclusieve evenementen valt.
Symbolisch als de gebeurtenissen 'A' en 'B' elkaar uitsluiten, kan de kans op gebeurtenissen worden ingeschat in P (A) of P (B). In wederzijds exclusieve evenementen P (AB) = 0.
2. Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen:
Twee of meer gebeurtenissen worden als onafhankelijk beschouwd wanneer het optreden van de ene proef geen invloed heeft op de andere. Het geeft aan dat als het proces een voor een wordt uitgevoerd, het ene onderzoek niet wordt beïnvloed door het andere onderzoek. En ook één proef beschrijft nooit iets over de andere proeven.
Voorbeeld:
De gebeurtenissen bij het gooien van een munt zijn onafhankelijke gebeurtenissen. Als een munt stuk voor stuk wordt gegooid, wordt de ene proef niet door de andere beïnvloed. In een proef kan het hoofd of de staart conisch zijn, wat nooit iets beschrijft welke gebeurtenis in de tweede proef zal komen. Dus de tweede proef is volledig onafhankelijk van die van de eerste proef.
Afhankelijke gebeurtenissen zijn gebeurtenissen waarbij het optreden en niet-voorkomen van één gebeurtenis in een proef het optreden van de andere proeven kan beïnvloeden. Hier zijn de gebeurtenissen onderling afhankelijk van elkaar.
Voorbeeld:
Als een kaart uit een pak speelkaarten wordt getrokken en niet wordt vervangen, wordt de kans op 2e proef gewijzigd.
3. Evenzo waarschijnlijke gebeurtenissen:
Gebeurtenissen worden even waarschijnlijk geacht, wanneer er een gelijke kans is om te voorkomen. Als een gebeurtenis niet is gebeurd zoals bij andere gebeurtenissen, worden gebeurtenissen niet als even waarschijnlijk beschouwd. Of met andere woorden: gebeurtenissen worden even waarschijnlijk geacht wanneer een gebeurtenis niet vaker voorkomt dan de andere.
Voorbeeld:
Als een onbevooroordeelde munt of dobbelsteen wordt gegooid, kan worden verwacht dat elk vlak op de lange termijn gelijk is. In een ander voorbeeld verwachten we dat in een stapel speelkaarten elke kaart gelijk wordt weergegeven. Als een munt of dobbelsteen vooringenomen is, wordt van elk vlak niet verwacht dat het gelijk verschijnt.
4. Eenvoudige en samengestelde evenementen:
Simpele evenementen. In de eenvoudige gebeurtenissen denken we na over de waarschijnlijkheid van het al of niet plaatsvinden van de eenvoudige gebeurtenissen. Wanneer we de munt gooien, overwegen we het optreden van de gebeurtenissen van hoofd en staart. In een ander voorbeeld, als er in een zak 10 witte ballen en 6 rode ballen zitten en telkens wanneer we proberen de kans te achterhalen om een rode bal te tekenen, worden deze opgenomen in eenvoudige evenementen.
Samengestelde evenementen:
Maar aan de andere kant, als we het gezamenlijke optreden van twee of meer gebeurtenissen beschouwen, worden het samengestelde gebeurtenissen. In tegenstelling tot eenvoudige evenementen worden hier meer dan één evenementen in overweging genomen.
Bijvoorbeeld:
Als er 10 witte en 6 rode ballen in een zak zitten en als opeenvolgende trekkingen van 3 ballen worden gemaakt en als we proberen de kans te achterhalen dat 3 ballen de witte ballen zijn. Dit voorbeeld geeft aan dat de gebeurtenissen in meer dan twee gevallen worden overwogen.
Belang van waarschijnlijkheid:
Het begrip kans is van groot belang in het dagelijks leven. Statistische analyse is gebaseerd op dit waardevolle concept. In feite is de rol van de waarschijnlijkheid in de moderne wetenschap die van een substituut voor zekerheid.
De volgende discussie legt het verder uit:
ik. De waarschijnlijkheidstheorie is erg nuttig voor het maken van voorspellingen. Schattingen en voorspellingen vormen een belangrijk onderdeel van het onderzoek. Met behulp van statistische methoden maken we schattingen voor de verdere analyse. Statistische methoden zijn dus grotendeels afhankelijk van de waarschijnlijkheidstheorie.
ii. Het heeft ook een enorm belang bij de besluitvorming.
iii. Het houdt zich bezig met de planning en controle en met het voorkomen van allerlei ongelukken.
iv. Het is een van de onscheidbare instrumenten voor alle soorten formele onderzoeken die onzekerheid met zich meebrengen.
v. Het begrip waarschijnlijkheid wordt niet alleen toegepast in zakelijke en commerciële lijnen, maar wordt ook toegepast op alle wetenschappelijke onderzoeken en het dagelijks leven.
vi. Alvorens statistische besluitvormingsprocedures te kennen, moet men kennis hebben van de waarschijnlijkheidstheorie.
vii. De karakteristieken van de Normale Kans. Curve is gebaseerd op de waarschijnlijkheidstheorie.
Normale distributie is verreweg de meest gebruikte distributie om conclusies uit statistische gegevens te trekken vanwege de volgende redenen:
1. Het aantal bewijzen wordt geaccumuleerd om aan te tonen dat de normale verdeling een goede fit biedt of de frequenties beschrijven van het voorkomen van vele variabelen en feiten in (i) biologische statistieken, bijv. Geslachtsratio in geboorten in een land over een aantal jaren, (ii) de anthropometrische gegevens, bijvoorbeeld lengte, gewicht, (iii) lonen en output van grote aantallen werknemers in hetzelfde beroep onder vergelijkbare omstandigheden, (iv) psychologische metingen zoals intelligentie, reactietijd, aanpassing, angst en (v) fouten van waarnemingen in de natuurkunde, Scheikunde en andere Exacte Wetenschappen.
2. Normale verdeling is van grote waarde bij evaluatie en onderzoek in zowel de psychologie als het onderwijs, wanneer we gebruik maken van mentale metingen. Er kan worden opgemerkt dat normale verdeling geen daadwerkelijke verdeling van scores is bij een test van bekwaamheid of academische prestaties, maar in plaats daarvan een wiskundig model is.
De verdeling van testscores benadert de theoretische normale verdeling als een limiet, maar de pasvorm is zelden ideaal en perfect.
Principles of Probability and Normal Probability Curve:
Wanneer we een onbevooroordeelde munt gooien, kan deze vallen tegen kop of staart. De kans op een vallende kop is dus 50% of 1/2 en een vallende staart is ook 50% of 1/2. Als we twee onbevooroordeelde munten gooien, kunnen deze op een aantal manieren vallen als HH (twee koppen) HT (1e muntkop en 2e muntstaart), TH (1e muntstaart en 2e muntkop) of TT (twee staarten).
Er zijn dus vier mogelijke arrangementen als we twee munten gooien, (a) en (b), op hetzelfde moment:
We hebben voor twee munten (H + T) 2 ; en squaring, de binomiale (H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2 .
1 H 2 1 kans in 4 van 2 hoofden; waarschijnlijkheidsverhouding = 1/4
2 HT 2 kansen in 4 van 1 hoofd en 1 staart; waarschijnlijkheidsverhouding = 1/2
1 T 2 1 kans in 4 van de 2 staarten; waarschijnlijkheidsverhouding = 1/4
Totaal = 4
Als we tegelijkertijd drie munten (a), (b) en (c) gooien, zijn er acht mogelijke uitkomsten:
Uitgedrukt als verhoudingen is de waarschijnlijkheid van drie koppen 1/8 (combinatie 1); van twee koppen en één staart 3/8 (combinaties 2, 3 en 4); van één kop en twee achterste 3/8 (combinaties 5, 6 en 7); en van drie staarten 1/8 (combinatie 8). De som van deze waarschijnlijkheidsverhoudingen is 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 of 1, 00.
Als we drie onafhankelijke factoren gebruiken, wordt de uitdrukking (p + q) n voor drie munten (H + T) 3 . Uitbreiding van deze binomiaal, we krijgen H 3 + 3H 2 T + 3HT 2 + T 3, die kan worden geschreven,
1 H 3 1 kans in 8 van de 3 hoofden; waarschijnlijkheidsratio = 1/8
3 H 2 T 3 kansen in 8 van 2 hoofden en 1 staart; waarschijnlijkheidsratio = 3/8
3 HT 2 3 kansen in 8 van 1 hoofd en 2 staarten; waarschijnlijkheidsratio = 3/8
1 T 3 1 kans in 8 van de 3 staarten; waarschijnlijkheidsratio Totaal = 1/8
Op dezelfde manier als we tien munten gooien, en 10 vervangen door n, zal de binomiale expansie zijn
(H + T) 10 = H10 + 10H 9 T + 45H 8 T 2 + 120H 7 T 3 + 210H 6 T 4 + 252 H 5 T 5 + 210 H 4 T 6 + 120 H 3 T 7 + 45H 2 T 8 + 10HT 9 + T 10 .
De uitbreiding heeft elf combinaties en de kans dat elke combinatie voorkomt uit het totale mogelijke voorkomen wordt uitgedrukt door de coëfficiënt van elke combinatie.
We kunnen de bovenstaande elf termen van de uitbreiding langs de X-as op gelijke afstanden weergeven als:
We kunnen de kans op voorkomen van elke combinatie van H en T als frequenties langs de Y-as weergeven. Als we al deze punten plotten en erbij komen, krijgen we een symmetrische frequentiepolygoon.
Als in de binomiale (H + T) n de waarde van n vrij groot is (zeg oneindig), dan zouden we een zeer groot aantal punten in de grafiek hebben en als we ze zouden samenvoegen, zouden we een perfect afgevlakte symmetrische curve krijgen. Zo'n soepele en symmetrische curve staat bekend als "normale kanscurve".
Bekijk zorgvuldig de volgende frequentieverdeling, die een docent heeft verkregen na het onderzoeken van 150 leerlingen van klas IX op een wiskundeprestatietoets (zie tabel 6.1):
Ben je in staat om een speciale trend te vinden in de frequenties weergegeven in kolom 3 van de bovenstaande tabel? Waarschijnlijk wel! De concentratie van de maximale frequentie ( f = 30) ligt op de centrale waarde van de verdeling en de frequenties lopen geleidelijk aan beide zijden van deze waarde geleidelijk af. Als we een frequentiepolygoon tekenen met behulp van de bovenstaande verdeling, zullen we een curve hebben zoals getoond in Fig. 6.1.
De vorm van de curve in de figuur is net als een 'bel' en is aan beide zijden symmetrisch. Als u de waarden van Gemiddelde, Mediaan en Modus berekent, zult u merken dat deze drie ongeveer hetzelfde zijn (Gemiddelde = Mediaan = Modus = 52).
De 'Bell'-vormige curve die technisch bekend staat als Normale Kansbereiking of gewoon Normale curve en de bijbehorende frequentieverdeling van scores, met gelijke waarden van alle drie maten van centrale neiging, staat bekend als Normale verdeling.
Deze normale curve is van groot belang in psychologische en educatieve metingen. Bij het meten van gedragsaspecten is de normale waarschijnlijkheidscurve vaak gebruikt als referentiecurve.
De normale waarschijnlijkheidscurve is dus een symmetrische klokvormige curve. In bepaalde verdelingen zijn de metingen of scores vaak symmetrisch verdeeld over hun middelen. Dat wil zeggen, de meeste gevallen liggen in het midden van de verdeling en een paar gevallen liggen aan de uiterste uiteinden (ondereinde en boven en).
Met andere woorden, de meeste maten (scores) concentreren zich op het middelste deel van de verdeling en andere maten (scores) beginnen zowel rechts als links in gelijke verhoudingen af te nemen. Dit is vaak het geval met veel natuurlijke verschijnselen en met veel mentale en sociale trekken.
Als we een best passende curve tekenen voor een dergelijke symmetrische verdeling, zal deze de vorm aannemen van een klokvormige curve die symmetrisch is aan beide zijden van het midden ervan.
